有限要素法で格子分割 for Python | その4 Scipy Delaunay調査
Delaunay
scipy.spatial.Delaunay
class scipy.spatial.Delaunay(points, furthest_site=False, incremental=False, qhull_options=None)
%matplotlib inline #! coding:utf-8 import numpy as np from scipy.spatial import Delaunay import matplotlib.pyplot as plt
ポイントの作成
# メッシュ状にポイントを設置 nx, ny = (5, 5) x = np.linspace(0, 1, nx) y = np.linspace(0, 1, ny) xv, yv = np.meshgrid(x, y) # ポイントをndarrayに変換(N x 2) points = [] for i in range(ny): for j in range(nx): points.append([xv[i, j], yv[i, j]]) points = np.asarray(points)
print points
[[ 0. 0. ]
[ 0.25 0. ]
[ 0.5 0. ]
[ 0.75 0. ]
[ 1. 0. ]
[ 0. 0.25]
[ 0.25 0.25]
[ 0.5 0.25]
[ 0.75 0.25]
[ 1. 0.25]
[ 0. 0.5 ]
[ 0.25 0.5 ]
[ 0.5 0.5 ]
[ 0.75 0.5 ]
[ 1. 0.5 ]
[ 0. 0.75]
[ 0.25 0.75]
[ 0.5 0.75]
[ 0.75 0.75]
[ 1. 0.75]
[ 0. 1. ]
[ 0.25 1. ]
[ 0.5 1. ]
[ 0.75 1. ]
[ 1. 1. ]]
ドロネー関数を実行し格子分割
tri = Delaunay(points)
print(tri)
<scipy.spatial.qhull.Delaunay object at 0x000000000A84B588>
Attributes
print tri.transform
[[[ 4. 0. ]
[ 0. 4. ]
[ 0. 0. ]]
[[-4. -0. ]
[-0. -4. ]
[ 0.25 0.25]]
....
[[-0. 4. ]
[-4. 0. ]
[ 0.75 0.75]]
[[ 0. -4. ]
[ 4. -0. ]
[ 0.5 1. ]]]
# 各節点が含まれる要素の番号 print tri.vertex_to_simplex
[ 0 0 5 2 2 0 1 4 3 2 13 10 11 18 21 8 9 24 17 16 8 8 29 16 16]
# 境界要素の節点番号 print tri.convex_hull
[[ 5 0]
[ 1 0]
[ 3 4]
[ 9 4]
[ 1 2]
[ 3 2]
[21 20]
[15 20]
[ 5 10]
[15 10]
[19 24]
[23 24]
[ 9 14]
[19 14]
[21 22]
[23 22]]
# 分からない print tri.vertex_neighbor_vertices
(array([ 0, 2, 7, 10, 15, 17, 22, 26, 34, 38, 43, 46, 54,
58, 66, 69, 74, 78, 86, 90, 95, 97, 102, 105, 110, 112]),
array([ 1, 5, 5, 0, 6, 7, 2, 7, 1, 3, 9, 4, 8, 7, 2, 9, 3,
1, 0, 6, 11, 10, 5, 1, 7, 11, 1, 6, 2, 3, 8, 11, 12, 13,
3, 9, 7, 13, 3, 4, 8, 13, 14, 5, 11, 15, 7, 6, 12, 5, 10,
15, 16, 17, 11, 7, 13, 17, 7, 12, 8, 9, 14, 19, 18, 17, 13, 9,
19, 21, 20, 16, 11, 10, 21, 15, 11, 17, 11, 16, 12, 13, 18, 21, 22,
23, 19, 23, 13, 17, 23, 24, 18, 13, 14, 15, 21, 15, 20, 16, 17, 22,
21, 17, 23, 19, 24, 18, 17, 22, 23, 19]))
# 節点の座標を表示 print tri.points
[[ 0. 0. ]
[ 0.25 0. ]
[ 0.5 0. ]
[ 0.75 0. ]
[ 1. 0. ]
[ 0. 0.25]
[ 0.25 0.25]
[ 0.5 0.25]
[ 0.75 0.25]
[ 1. 0.25]
[ 0. 0.5 ]
[ 0.25 0.5 ]
[ 0.5 0.5 ]
[ 0.75 0.5 ]
[ 1. 0.5 ]
[ 0. 0.75]
[ 0.25 0.75]
[ 0.5 0.75]
[ 0.75 0.75]
[ 1. 0.75]
[ 0. 1. ]
[ 0.25 1. ]
[ 0.5 1. ]
[ 0.75 1. ]
[ 1. 1. ]]
# 要素の節点番号を表示 print tri.simplices
[[ 1 5 0]
[ 5 1 6]
[ 9 3 4]
[ 3 9 8]
[ 1 7 6]
[ 7 1 2]
[ 7 3 8]
[ 3 7 2]
[15 21 20]
[21 15 16]
[ 7 11 6]
[11 7 12]
[11 5 6]
[ 5 11 10]
[15 11 16]
[11 15 10]
[23 19 24]
[19 23 18]
[ 7 13 12]
[13 7 8]
[ 9 13 8]
[13 9 14]
[13 19 18]
[19 13 14]
[11 17 16]
[17 11 12]
[17 13 18]
[13 17 12]
[17 21 16]
[21 17 22]
[23 17 18]
[17 23 22]]
# 隣接要素番号を表示(-1は境界) print tri.neighbors
[[-1 -1 1]
[ 4 12 0]
[-1 -1 3]
[20 6 2]
[10 1 5]
[-1 7 4]
[ 3 19 7]
[ 5 -1 6]
[-1 -1 9]
[14 28 8]
[12 4 11]
[18 25 10]
[ 1 10 13]
[15 -1 12]
[24 9 15]
[-1 13 14]
[-1 -1 17]
[30 22 16]
[27 11 19]
[ 6 20 18]
[19 3 21]
[-1 23 20]
[17 26 23]
[21 -1 22]
[28 14 25]
[11 27 24]
[22 30 27]
[25 18 26]
[ 9 24 29]
[31 -1 28]
[26 17 31]
[-1 29 30]]
print tri.equations
[[ 0.11219678 0.11219678 -0.98733164 -0. ]
[ 0.11219678 0.11219678 -0.98733164 -0. ]
[ 0.62007634 0.08858233 -0.77952454 -0.265747 ]
[ 0.62007634 0.08858233 -0.77952454 -0.265747 ]
...
[ 0.44291167 0.44291167 -0.77952454 -0.265747 ]
[ 0.44291167 0.44291167 -0.77952454 -0.265747 ]
[ 0.25777915 0.60148468 -0.75615216 -0.30074234]
[ 0.25777915 0.60148468 -0.75615216 -0.30074234]
[ 0.4063027 0.56882377 -0.71509274 -0.36567243]
[ 0.4063027 0.56882377 -0.71509274 -0.36567243]]
print tri.paraboloid_scale
0.454545454545
print tri.paraboloid_shift
-0.0
print tri.coplanar
[]
# Lineをプロット plt.triplot(points[:, 0], points[:, 1], tri.simplices.copy()) plt.plot(points[:, 0], points[:, 1], 'o') plt.xlim([-0.2, 1.2]) plt.ylim([-0.2, 1.2]) # 節点番号の表示 for i, p in enumerate(tri.points): plt.text(p[0], p[1], i, ha='right') # 要素番号の表示 for j, s in enumerate(tri.vertices): p = tri.points[s].mean(axis=0) plt.text(p[0], p[1], '#%d' % j, ha='center') plt.show()
# メッシュデータを保存 # -------------------- import csv with open('mesh2.csv', 'w') as f: writer = csv.writer(f, lineterminator='n') writer.writerow(tri.vertex_to_simplex)
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有限要素法で格子分割 for Python | その３ Scipy Delaunay調査
前回から有限要素法の格子分割について調べているが、どうもScipy Delaunayモジュールを使えばできそうだ。今日はサンプルコードを集める。
Scipy.Delaunay
scipy.spatial.Delaunay
- class scipy.spatial.Delaunay(points, furthest_site=False, incremental=False, qhull_options=None)
- Delaunay tesselation in N dimensions.
New in version 0.9.
Parameters: points : ndarray of floats, shape (npoints, ndim)
furthest_site : bool, optionalCoordinates of points to triangulate
incremental : bool, optionalWhether to compute a furthest-site Delaunay triangulation. Default: FalseNew in version 0.12.0.
qhull_options : str, optionalAllow adding new points incrementally. This takes up some additional resources.Additional options to pass to Qhull. See Qhull manual for details. Option “Qt” is always enabled. Default:”Qbb Qc Qz Qx” for ndim > 4 and “Qbb Qc Qz” otherwise. Incremental mode omits “Qz”.New in version 0.12.0.
リファレンスを読むと近くのノードや隣接要素等も検索できる。これは便利。
Spatial data structures and algorithms (scipy.spatial)
StackOverflowでも参考記事を見つけた.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.tri as mtri
def delete_connectivity(triangulation):
x, y = triangulation.x, triangulation.y
triangles = triangulation.triangles
(ntri, _) = triangles.shape
new_x = x[triangles].ravel()
new_y = y[triangles].ravel()
new_triangles = np.arange(ntri * 3, dtype=np.int32).reshape(ntri, 3)
return mtri.Triangulation(new_x, new_y, new_triangles)
x =np.array([-1.1288,-0.27786,0.80753,1.0593,-0.1563,-0.62518,-0.95861,-0.78842,-0.61823,-0.44805,-0.096961,0.083936,0.26483,0.44573,0.62663,0.85789,0.90825,0.95861,1.009,0.85673,0.65412,0.45152,0.24891,0.04631,-0.27352,-0.39074,-0.50796,-0.79305,-0.96093,0.093606,-0.70378,0.72463,-0.27503,0.64406,-0.30976,0.40348,0.28319,-0.10986,-0.073193,0.87604,-0.88885,0.19124,-0.00036351,-0.51538,-0.3409,0.68238,0.43689,-0.6176,0.54328,-0.079635,0.31319,0.73076,-0.79277,0.87668,-0.20567,-0.21595,0.11589,0.26013,0.32212,0.54986,0.45791,0.12746,-0.44664,-0.28559,0.11883,0.061646,-0.50891,-0.48716,-0.62684,0.57669,0.74722,0.81603,0.37258,0.22964,-0.41324,-0.1382,-0.37681,-0.035599,0.037716,-0.068816,-0.22796,-0.060578,-0.43952,-0.20434])
y =np.array([0.11288,0.68162,0.23444,-0.60781,-0.75543,-0.29088,0.22663,0.34038,0.45412,0.56787,0.60709,0.53256,0.45803,0.3835,0.30897,0.065991,-0.10246,-0.27091,-0.43936,-0.63242,-0.65702,-0.68162,-0.70622,-0.73082,-0.63929,-0.52315,-0.40702,-0.1563,-0.021708,-0.11758,0.14118,-0.37025,0.45932,0.091961,0.11512,-0.16654,0.13428,-0.36803,0.3966,-0.48949,0.13423,-0.40068,0.1352,0.31481,-0.20473,-0.21478,0.01804,-0.055294,-0.48544,-0.56999,0.29215,-0.52686,0.0078785,-0.36062,0.26627,-0.065918,0.28055,-0.050238,-0.53119,-0.28196,0.20482,-0.56317,0.41544,-0.35988,0.061395,-0.29014,0.14657,-0.18565,0.27854,-0.10593,-0.083011,-0.23355,-0.34932,-0.22943,-0.043161,0.11161,0.2849,-0.010632,-0.43886,-0.18259,-0.49244,0.23716,-0.32913,-0.23735])
t1 =np.array([7,28,8,9,11,10,2,12,14,16,15,3,17,18,20,19,4,21,22,34,25,23,5,26,13,29,31,33,47,41,44,40,24,68,48,27,58,8,66,50,49,11,54,60,55,39,55,49,46,1,48,40,64,58,51,57,56,56,64,16,47,57,47,67,6,60,73,66,59,12,51,20,32,31,28,32,71,65,63,76,68,76,37,78,36,59,22,32,66,37,14,62,23,9,35,80,50,37,30,36,38,64,31,67,45,67,31,34,36,70,34,32,17,42,49,30,42,35,48,39,35,33,44,30,43,50,42,38,30,25,38,43,55,26,45,45,38])
t2 =np.array([1,6,7,8,2,9,10,11,13,3,14,15,16,17,4,18,19,20,21,15,5,22,24,25,12,28,8,10,34,29,9,19,23,6,6,26,30,31,30,24,32,33,18,36,35,33,33,21,32,29,31,32,38,37,13,39,35,45,26,34,37,43,36,35,27,46,36,38,42,39,37,40,49,41,48,40,46,43,44,56,45,43,51,56,47,49,49,46,42,47,51,42,59,44,55,56,38,57,58,58,50,45,48,48,56,44,67,47,60,46,70,54,71,59,60,66,73,67,68,55,56,63,67,65,76,62,66,66,78,50,64,57,76,64,68,64,80])
t3 =np.array([41,48,41,69,33,63,33,39,51,34,61,34,71,72,40,54,40,52,49,61,50,59,50,81,57,53,41,63,61,53,69,54,62,83,68,83,74,69,80,62,60,39,72,73,76,55,77,52,72,41,53,52,84,65,57,82,75,84,81,71,58,65,70,77,83,70,74,79,62,57,61,52,52,53,53,54,72,78,77,78,75,82,57,80,58,73,59,60,74,61,61,79,62,63,77,84,81,65,65,74,79,83,67,75,75,69,69,70,70,71,71,72,72,73,73,74,74,75,75,82,76,77,77,78,78,79,79,80,80,81,81,82,82,83,83,84,84])
tri = np.vstack((t1-1,t2-1,t3-1)).transpose()
my_tri = mtri.Triangulation(x,y, tri)
my_tri = delete_connectivity(my_tri)
refiner = mtri.UniformTriRefiner(my_tri)
my_tri2, index = refiner.refine_triangulation(subdiv=1, return_tri_index=True)
#plot the original triangulation
plt.triplot(my_tri,color='red', linewidth=1.5)
#plot the refined triangulation
plt.triplot(my_tri2, color='red', linewidth=0.5)
#mark all points corresponding to index 113 in the original triangulation
for i in range(0, my_tri2.x.size):
if index[i] == 113:
plt.plot(my_tri2.x[i],my_tri2.y[i] ,'ok')
plt.show()
github: py_distmesh2D
This repository contains a Python re-implementation of distmesh2d in P.-O. Persson, G. Strang, A Simple Mesh Generator in MATLAB. SIAM Review, Volume 46 (2), pp. 329-345, June 2004(http://persson.berkeley.edu/distmesh/).
(おまけ)Matlabコードも発見
DistMesh - A Simple Mesh Generator in MATLAB
http://persson.berkeley.edu/distmesh/
実装
# main()
from scipy.spatial import Delaunay
import matplotlib.pyplot as plt
# メッシュ状にポイントを設置
nx, ny = (5, 5)
x = np.linspace(0, 1, nx)
y = np.linspace(0, 1, ny)
xv, yv = np.meshgrid(x, y)
# ポイントをndarrayに変換
points = []
for i in range(ny):
for j in range(nx):
points.append([xv[i, j], yv[i, j]])
points = np.asarray(points)
# ドロネー関数を実行し格子分割
tri = Delaunay(points)
print tri.points
print tri.points[1, 0]
print tri.vertices
print tri.simplices
print tri.neighbors
print tri.equations
print tri.vertex_to_simplex
print 'tri.vertex_to_simplex'
# Lineをプロット
plt.triplot(points[:, 0], points[:, 1], tri.simplices.copy())
plt.plot(points[:, 0], points[:, 1], 'o')
plt.xlim([-0.2, 1.2])
plt.ylim([-0.2, 1.2])
# 節点番号の表示
for i,p in enumerate(tri.points):
plt.text(p[0], p[1], i, ha='right')
# 要素番号の表示
for j, s in enumerate(tri.vertices):
print j, s
p = tri.points[s].mean(axis=0)
plt.text(p[0], p[1], '#%d' % j, ha='center')
plt.show()
# メッシュデータを保存
# --------------------
import csv
with open('mesh.csv', 'w') as f:
writer = csv.writer(f, lineterminator='\n')
writer.writerows(tri.vertex_to_simplex)
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有限要素法で格子分割 for Python | その２ ドロネー線図
Pythonで有限要素法のプログラムを作っているが、格子分割にとまどっている。ポリゴン関連で調べていると、どうもドロネー図を利用している感じだった。
Pythonでドロネー図
scipyのDelaunayを使うことで、任意の点からドロネー図を作ることができる。
http://blog.monophile.net/posts/programming/delaunay.html
from scipy.spatial import Delaunay
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.random.rand(2,200)
tri = Dealunay(x)
plt.triplot(x[:,0],x[:,1],tri.vertices)
plt.show()だたし動かない。
QH6214 qhull input error: not enough points(2) to construct initial simplex (need 202) While executing: | qhull d Qx Qbb Qz Qc Qt Options selected for Qhull 2012.1 2012/02/18: run-id 1307781299 delaunay Qxact-merge Qbbound-last Qz-infinity-point Qcoplanar-keep Qtriangulate _zero-centrum Qinterior-keep Q3-no-merge-vertices-dim-high Traceback (most recent call last): File "E:/Python/FEM_MeshingTool/prototpye_01/main.py", line 367, in <module> tri = Delaunay(x) File "qhull.pyx", line 1736, in scipy.spatial.qhull.Delaunay.__init__ (scipy\spatial\qhull.c:14349) File "qhull.pyx", line 328, in scipy.spatial.qhull._Qhull.__init__ (scipy\spatial\qhull.c:3681) scipy.spatial.qhull.QhullError: Qhull error
Scipy.spatial.Delaunayのサンプル下なら動いた。
http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.spatial.Delaunay.html
points = np.array([[0, 0], [0, 1.1], [1, 0], [1, 1]]) from scipy.spatial import Delaunay tri = Delaunay(points)
Python Triangle
やっと道がみえた、次回はScipyのDelaunayをキーワードに調査する。
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